PHƯƠNG TRÌNH m-HESSIAN PHỨC CÓ TRỌNG | Phú | TNU Journal of Science and Technology

PHƯƠNG TRÌNH m-HESSIAN PHỨC CÓ TRỌNG

Thông tin bài báo

Ngày nhận bài: 26/01/24                Ngày hoàn thiện: 23/02/24                Ngày đăng: 23/02/24

Các tác giả

Nguyễn Văn Phú Email to author, Trường Đại học Điện lực

Tóm tắt


Giải phương trình m-Hessian là bài toán quan trọng trong lý thuyết về các hàm m-điều hòa dưới. Gần đây, nhiều tác giả quan tâm giải phương trình m-Hessian có trọng khi  là một hàm đơn điệu không giảm theo biến thứ nhất và là độ đo triệt tiêu trên các tập m-cực. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài toán giải phương trình m-Hessian có trọng ở trên mà không cần giả thiết đơn điệu của hàm  theo biến thứ nhất. Để đạt được kết quả trên, chúng tôi áp dụng Định lý điểm bất động Schauder bằng cách tạo ra một tập lồi, compact thích hợp và xây dựng một ánh xạ liên tục từ tập lồi compact được đề cập ở trên vào chính nó. Kỹ thuật để giải phương trình m-Hessian có trọng trong trường hợp không cần giả thiết hàm đơn điệu theo biến thứ nhất là rất khác biệt với các kĩ thuật được dùng trong trường hợp có giả thiết hàm đơn điệu theo biến thứ nhất. Chúng tôi cũng giải phương trình m-Hessian có trọng ở trên trong trường hợp độ đo  bị chặn bởi một hàm thích hợp của m-dung lượng và đưa ra một ví dụ về độ đo  thỏa mãn giả thiết đó.

Từ khóa


Hàm m-điều hòa dưới; Các tập m-cực; Toán tử m-Hessian phức; Phương trình m-Hessian phức; Miền m-siêu lồi

Toàn văn:

PDF

Tài liệu tham khảo


[1] E. Bedford and B. A.Taylor, “A new capacity for plurisubharmonic functions,” Acta Math, vol. 149, pp.1-40, 1982.

[2] U. Cegrell, “Pluricomplex energy,” Acta Math, vol. 180, pp. 187-217, 1998.

[3] U. Cegrell, “The general definition of the complex Monge-Ampère operator,” Ann. Inst. Fourier (Grenoble), vol. 54, 159-179, 2004.

[4] U. Cegrell, “On the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator,” Math. Z., vol. 185, pp. 247–251, 1984.

[5] P. Ahag, “A Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator in ,” Michigan Math. J., vol. 55, pp. 123-138, 2007.

[6] R. Czyz, “On the Monge-Ampère type equation in the Cegrell class ,” Ann. Pol. Math, vol. 99, no. 1, pp. 89-97, 2010.

[7] M. H. Le, H. H. Pham, X. H. Nguyen, and V. P. Nguyen, “The Monge-Ampère type equation in the weighted pluricomplex energy class,” Int. J. Math., vol. 25, no. 05, 2014, Art. no.1450041.

[8] Z. Blocki, "Weak solutions to the complex Hessian equation," Ann. Inst. Fourier (Grenoble), vol. 55, pp. 1735-1756, 2005.

[9] H. C. Lu, "A variational approach to complex Hessian equation in ," J. Math. Anal. Appl. , vol. 431, no. 1, pp. 228-259, 2015.

[10] V. H. Vu and V. P. Nguyen, "Hessian measures on m-polar sets and applications to the complex Hessian equations,” Complex Var. Elliptic Equa., vol. 62, no. 8, pp. 1135-1164, 2017.

[11] A. El Gasmi, "The Dirichlet problem for the complex Hessian operator in the class ," Math. Scand., vol. 121, pp. 287-316, 2021.

[12] M. H. Le and V. Q. Vu, "Weak solutions to the complex m-Hessian type equation on open subsets of ,” Complex Anal. Oper. Theory, vol. 15, 2021, Art. no. 84, doi: 10.1007/s11785-021-01122-6.

[13] H. Amal, S. Asserda, and A. Gasmi, "Weak solutions to the complex Hessian type equations for arbitrary measures," Compex Anal. Oper. Theory, vol. 14, 2020, Art. no. 80, doi: 10.1007/s11785-020-01044-9.

[14] M. Klimek, Pluripotential Theory, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1991.

[15] A. S. Sadullaev and B. I. Abdullaev, “Potential theory in the class of m-subharmonic functions,” Trudy Mathematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova, vol. 279, pp. 166-192, 2012.

[16] N. V. Phu, "Approximation of m-subharmonic function with given boundary values," J. Math. Anal. Appl., vol. 534, no. 2, 2024, Art. no. 128097, doi: 10.1016/j.jmaa.2024.128097.

[17] U. Cegrell, “Convergence in capacity,” Canad. Math. Bull., vol. 55, no. 2, pp. 242 – 248, 2012.

[18] S. Klodziej, “Equicontinuity of families of plurisubharmonic functions with bounds on their Monge-Amp re masses,” Math. Z., vol. 240, pp. 835-847, 2002.

[19] V. T. Nguyen, "A characterization of the Cegrell classes and generalized m-capacities," Ann. Polon. Math., vol. 121, no. 1, pp. 33-43, 2018.

[20] V. T. Nguyen, “Maximal m-subharmonic functions and the Cegrell class ," Indag. Math., vol. 30, no. 4, pp. 717-739, 2019.

[21] S. Dinew and S. Kolodziej, "A priori estimates for the complex Hessian equations," Analysis & PDE, vol. 7, pp. 227-244, 2014.




DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.9645

Các bài báo tham chiếu

  • Hiện tại không có bài báo tham chiếu
Tạp chí Khoa học và Công nghệ - Đại học Thái Nguyên
Phòng 408, 409 - Tòa nhà Điều hành - Đại học Thái Nguyên
Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên
Điện thoại: 0208 3840 288 - E-mail: jst@tnu.edu.vn
Phát triển trên nền tảng Open Journal Systems
©2018 All Rights Reserved